El método de Jacobi

El método de Jacobi es bastante más complicado pero tiene la ventaja de hallar los valores propios y los vectores propios de una matriz simétrica A. El método de Jacobi se basa en que existen matrices ortogonales P, tales que transforman a la matriz A en una matriz cuya diagonal principal está formada por los valores propios.

Estas matrices P tienen la siguiente forma

Son nulos todos los elementos, excepto la diagonal principal y los elementos (k, l) y su simétrico (l, k). Dado que P es ortogonal la matriz B tal que tiene los mismos valores propios que A, y además eligiendo convenientemente el ángulo q se puede conseguir que los elementos b_kl y b_lk sean nulos, los valores de dichos ángulos son:

         (1)

donde

                 (2)

                         (3)

de esta manera hemos obtenido una matriz B más sencilla que A con sus mismos valores propios.

En el método de Jacobi, se ha de encontrar una sucesión de matrices ortogonales P tal que hagan la matriz A diagonal.

                        (4)

En la práctica, se determina cada transformación P_i de forma que el elemento de mayor valor absoluto fuera de la diagonal se transforme en cero. El proceso se concluye cuando el máximo valor absoluto de los elementos fuera de la diagonal de B puede ser considerados despreciables frente al valor absoluto de los elementos de la diagonal principal.

Las columnas de la matriz

                         (5)

son los vectores propios asociados a los valores propios que constituyen los elementos de la matriz diagonal B.

Este es el procedimiento para hallar los valores propios reales y sus correspondientes vectores propios de una matriz simétrica A.